4.6 BASE ORTORMAL

Definición de conjunto ortogonales y conjuntos ortonormales

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denominaortonormal. 

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

1.       Sea B = {v₁, v₂, . . ., v_n} una base de un espacio V con producto interno

2.      Sea B´= {w₁, w₂, . . ., w_n} donde w_i está dado por:

w₁= v

Entonces B´ es una base ortogonal de V.

3.      Sea u_i= w_{i ││}w_1││ entonces el conjunto B´´={ u₁, u₂, . . ., u_n} es una base ortonormal de V.

Ejemplo: Forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Determine una base ortonormal del espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales

w+ x +           z= 0

2w+x + 2y+ 6z=0

Solución: La matriz aumentada se reduce como se sigue.

Una base del espacio solución es:

B= {v_1, v₂,} = {(-2,2,1,0), (1,-8,0,1)}.

Para hallar una base ortonormal B´= {u₁, u₂}, se usa la forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt como sigue.

Construcción de un conjunto ortonormal.