4.3 COMBINACION LINEAL . INDEPENDENCIA LINEAL

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v₁,v₂,_…,v_k} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c₁,c₂,_…,c_k, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c₁v₁₊c₂v₂+…+c_kv_k=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmúltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. 

Teoremas

1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v₁, v₂}, donde v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5. Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.