Clasificación
de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de soluciones
Una ecuación lineal es una ecuación algebraica que contiene
variables cuyo máximo grado posible es uno. Tales ecuaciones se utilizan
normalmente para definir líneas rectas. Cuando tenemos numerosas ecuaciones
lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de solución, las
llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales. Generalmente, un
sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia
para su solución. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado como, x + y – z =
1 3x – 2y + z = 3 4x + y – 2z = 9
A continuación se indica la forma matricial del sistema de
la ecuación como:
Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales
posibles, los cuales dependen del punto de intersección de la ecuación lineal
en un determinado sistema de ecuación. Estos son:
1. Inconsistente independiente: Si las ecuaciones del
sistema dado vienen a ser las mismas rectas que difieren en su pendiente,
entonces tal sistema de ecuaciones lineales es llamado consistente y
dependiente. Este sistema de ecuaciones lineales no proporciona una solución
dado que todas las rectas son paralelas entre sí y no pueden cumplir con los
demás, incluso si se extiende hasta el infinito, por lo que nunca se obtiene un
punto de intersección, y por tanto, no puede obtenerse ninguna solución.
2. Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un
sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel
milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras,
podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones
lineales inconsistente e independiente. En este caso obtenemos un número
infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son
puntos de intersección.
3.
Consistente independiente: Este es el sistema más general de las ecuaciones
lineales, donde tenemos un número de rectas que se interceptan en un solo
punto, el cual es la única solución para el sistema de ecuaciones, y
denominamos a tal sistema de ecuaciones consistente e independiente.
Además
de esto también tenemos tres categorías de posibles soluciones para un
determinado sistema de ecuaciones lineales. Estas son:
1. Solución Independiente:
La solución independiente es la solución única para un sistema de ecuaciones
lineales. Para un sistema de ecuación, si aplicamos una operación de
transformación de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad. Una
característica única de este tipo solución es que se necesita disponer de
tantos números de ecuaciones como variables en el sistema dado. Si este
requisito no se cumple, no podemos obtener una solución independiente.
Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una solución
única para cada una de las tres variables como x = 3, y = 1 y z = 2
2. Solución Dependiente: La solución dependiente es aquella
por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable,
este es el caso de las soluciones múltiples. Para este sistema de ecuaciones,
si aplicamos la operación de transformación de fila generalmente obtendremos
pocos términos de cero. Usualmente, es el caso donde el número de variables es
mayor que el número de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema
contiene una fila cero.
La
solución del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t.
3.Solución
Inconsistente: La solución es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna
solución para el sistema de ecuaciones lineales.
No
tenemos una solución para el sistema de ecuaciones anterior.
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