La idea que se persigue con las transformaciones elementales
es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En
concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido
que definimos a continuación.
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si
todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE
de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes
propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la
parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente
mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que
representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2,
sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro
ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n
cumple rg (In) = n.
La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de
rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de
transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas
transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES
ELEMENTALES por filas de A son tres:
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila
otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin
embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los
sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos
transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
=Teorema=
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una
cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero,
hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego,
se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se
pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.
El teorema anterior nos permite hacer una definición
importante:
Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo
denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con
A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que
se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas
y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En
nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
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