Definición de sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es aquella que contiene variables de un
sólo grado. Tal ecuación se representa con una recta en un papel cuadriculado.
Una ecuación lineal que contiene n variables de la forma x1-, x¬2¬, x¬3¬ … x¬n¬
puede escribirse como:
Aquí b es un término constante y a¬1¬, a¬2¬, a¬3¬ … a¬n¬ son
los coeficientes de las variables n. Por ejemplo, si tenemos la ecuación,
2x¬1¬ – x¬2¬ + 7x¬3¬ = 5
esta es una ecuación lineal de tres variables. Mientras que
una ecuación
3x¬1¬x¬2¬ – 2x¬3¬2 = 1
no es una ecuación lineal. Esto significa que no podemos
multiplicar dos variables juntas en una ecuación lineal. Cada variable está
separada por las operaciones básicas de suma y resta operación, y tienen un
término de coeficiente diferente, sin embargo el valor de los coeficientes de
ambas variables viene ser el mismo.
Un sistema lineal, también llamado sistema de ecuaciones
lineales es aquel que contiene varias ecuaciones lineales de manera tal que
todos juntos producen un sistema significativo que nos da un punto de solución
definitiva. Sin embargo, en ciertas situaciones no es posible conseguir ninguna
solución o se obtienen varios puntos como solución. Podemos representar un sistema
de ecuaciones lineales como:
El sistema de ecuaciones lineales puede clasificarse
principalmente en dos categorías, el sistema homogéneo de ecuaciones lineales y
el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales. Un sistema homogéneo de
ecuaciones lineales es uno cuyo vector b¬i¬, es un vector cero donde todas sus
entradas son valores cero. Esto significa que en ese sistema, tenemos del lado
derecho de cada ecuación un istema cero. Puede representarse como:
Un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales es a
diferente del diagrama anterior, un sistema no homogénea de una ecuación lineal
es aquel donde al menos una de las entradas del vector b¬i¬ debe ser diferente
de cero. Esto significa que no hay una restricción que para ser parte de un
sistema no homogéneo de un ecuación lineal debe poseer un valor distinto a cero
en su lado derecho. Incluso si una sola ecuación satisface la condición, se
denomina al sistema como un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales.
La representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
es de la siguiente manera:
Aquí
tenemos A como una matriz de dos dimensiones con los términos del coeficiente B
como el vector columna de una sola dimensión de términos constantes y X como la
matriz de dos dimensiones de los términos variables. Incluso en algunos casos
todas las ecuaciones pueden ser unidimensionales teniendo solamente las mismas
variables. Algunos matemáticos incluso presentan un conjunto de la matriz de
los coeficientes y la matriz constante, el cual es la matriz A y B. Esto no
marca ninguna diferencia, sin embargo estos sólo son los diferentes métodos de
representación.
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