3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES

Interpretación geométrica de las soluciones

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son:

1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. Gráficamente se representa: 




2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. Gráficamente podemos representarlo como:

 


3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente. Gráficamente podemos representarlo como:

Con la ayuda de un ejemplo, vamos a entender las diversas soluciones posibles.

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales dado como,

y = 3x – 2 y = -x – 6

La representación gráfica de las ecuaciones puede darse como:

Ya sabemos que en el caso de una sola recta, todos los puntos que intersecten con esa recta son llamados solución de la ecuación, sin embargo al tratar con un sistema de ecuaciones, la situación es diferente. En tal situación para que un punto sea la solución del sistema de ecuación dado, necesita estar sobre cada recta definida en el sistema de ecuación dado. Por lo tanto, si nos fijamos en el diagrama siguiente



 El punto resaltado con color rojo no puede considerarse como una solución, ya que no se encuentra en ninguna de las rectas definidas en el sistema de ecuaciones.



Tampoco podemos considerar el punto resaltado en color azul como la solución, ya que se encuentra en una sola recta y no en la otra, por lo tanto, puede considerarse como la solución para la recta y =-x - 6, pero no la del sistema dado.

 

Finalmente, el punto destacado en el color púrpura es la solución del sistema de ecuación, ya que está en ambas rectas definidas para el sistema dado. También ésta es la solución única del sistema dado, porque ambas líneas no se intersectan en algún otro punto. Por tanto, llamamos a este sistema un sistema de ecuaciones lineales consistente independiente.