1.6 Ecuaciones polinómicas.
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar
todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo:
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 ,
esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el
polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 =
0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por:
que no existe en el campo de los reales ya que la raíz
cuadrada no está definida para argumentos negativos.
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más
el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i
= raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría
dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.
La introducción de los números complejos permite probar el
teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación
polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
De esta manera, se define genéricamente un número complejo
como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte
imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.
Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.
Con los números complejos se opera como se operaría con
productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a +
bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.
La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad
de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:
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