2.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA:

Propiedades

-Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)

-Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A

PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1·A = A

-Distributividad:

    -De escalar: c(A+B) = cA+cB

    -De matriz: (c+d)A = cA+dA

PRODUCTO DE DOS MATRICES:El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, pcolumnas).

Por ejemplo:

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

-Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

-Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

-Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

-En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas

-El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.

-El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto AB es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón "i" y en la columna "j" de AB, considerar solo el renglón "i" de la matriz A y la columna "j" de la matriz B. Multiplicar entre si los elementos correspondientes del renglón y de la columna mencionados y luego sumar los productos restantes.

Ejemplo:

Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz 2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 de AB, solo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B. Luego, como se ilustra a continuación, los elementos correspondientes (en tipo negro) se multiplican entre si y se suman los productos obtenidos.

(2*4) + (6*3) + (0*5) = 26

y así obtenemos el siguiente resultado:

(1*4) + (2*0) + (4*2) = 12

(1*1) + (2*1) + (4*7) = 27

(1*4) + (2*3) + (4*5) = 30

(1*3) + (2*1) + (4*2) = 13                            

(2*4) + (6*0) + (0*2) = 8

(2*1) + (6*1) + (0*7) = -4

(2*3) + (6*1) + (0*2) = 12