Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las
propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es
posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que
aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es
decir A·B es distinto de B*A.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas
del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A,
que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha
dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.
Sabemos también que el elemento neutro del producto de
matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números
reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real,
por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el
producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea
igual al elemento neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los números reales es bien
fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso
de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento
neutro, el 1.
Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si
dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el
producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa
produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay
algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:
No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque
no hemos definido la división de matrices.
No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz
“inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa:
Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que
posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz
del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que:
A * A−1 = In y A−1 * A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no
invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única
(sólo hay una).
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