1.2 Operaciones
fundamentales con números complejos.
Varias propiedades de la suma y del producto de números
complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más
básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes conmitativas
z1 + z2= z2 + z1,
z1z2 = z2z1
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 =
z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 =
z1(z2z3)
se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el
producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las
satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1)
y z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1)
+ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 +
y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1) = z2 +
z1
La verificación de las restantes, así como de la ley
distributiva
z(z1 + z2) = zz1 +
zz2,es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego
está permitido escribir
z = x + iy o z = x
+ yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 +
z2 + z3 o un producto z1z2z3 están
bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad
multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al
sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z y z * 1 = z
para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos
números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0,
supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
donde (x, y) es cualquier número complejo. Se
deduce que
x + u = x e y + v =
y;
o sea, u = 0 y v = 0.
El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad
aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un
inverso aditivo
-z = (-x, -y)
que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además,
hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u,
v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.
Los inversos aditivos se usan para definir la resta:
z1 - z2 = z1 +
(-z2).
Luego si z1 = (x1, y1)
y z2 = (x2, y2), entonces
z1 - z2 = (x1 -
x2, y1 - y2) = (x1 - x2)
+ i(y1 - y2).
Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no
nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 =
1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo,
buscamos números reales u, v expresados en términos de x e y,
tales que
(x, y)(u, v) = (1,0).
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