Métodos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inverso de
una matriz y regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más
ecuaciones lineales. La solución del sistema correspondiente se obtiene cuando
todas las ecuaciones lineales del sistema intersectan en un punto particular.
Existe una variedad de métodos disponibles para encontrar la
solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales. Algunos de los métodos
aceptados popular y ampliamente incluyen a la eliminación de Gauss, Método
Gauss Jordan, inverso de una matriz y la regla de Cramer.
La eliminación de Gauss es un algoritmo específico planeado
para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Con la ayuda del
algoritmo de Gauss puede encontrarse con facilidad la matriz de rango, el
determinante de la matriz y el inverso de la matriz.
La eliminación de Gauss se divide en dos partes básicas:
Eliminación hacia Adelante y sustitución hacia atrás. La eliminación hacia
adelante reduce el sistema de ecuaciones lineales hacia la forma triangular o
degenerando las ecuaciones correspondientes con una solución zilch. Para ello,
el algoritmo de Gauss usa las operaciones elementales de fila. Luego, con la
ayuda de una solución de sustitución hacia atrás se crea el sistema
correspondiente.
Otro método, la eliminación Gauss-Jordan es un método que
hace uso de las operaciones elementales de fila para obtener matrices en forma
de una forma escalonada reducida. Una matriz es llamada de forma escalonada si
contiene 0 en cada pivote. La eliminación de Gauss-Jordan ubica el 0 tanto
abajo como encima del pivote. Y por este motivo, este tipo de matrices son
conocidas como de forma escalonada reducida. En caso el que Gauss-Jordan sea
empleado en una matriz de origen cuadrado, entonces se puede utilizar para
encontrar el inverso de la matriz.
El inverso de la matriz es otro método simple y fácil de
usar para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este
método, hay algunos pasos a seguir. Estos son:
Paso 1: Marque las ecuaciones en forma de multiplicación de
matriz con las variables una como matriz o y el otro como coeficiente.
Paso 2: Calcula el inverso de los coeficientes de matriz
correspondientes.
Paso 3: Ahora, multiplique el coeficiente inverso de la
matriz con ambos lados de la ecuación formada en el paso 1.
Paso 4: Cuando soluciones la multiplicación de la matriz,
puedes obtener la solución.
La Regla de Cramer es otro método basado en una fórmula
sencilla para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Este
método se apoya en un hecho simple en el cual el valor de la variable de todos
y cada uno puede determinarse tomando en cuenta el cociente de dos
determinantes. Con el fin de entenderlo, vamos a ver un sistema de ecuaciones
lineales con tres ecuaciones:
x + 3y – 2z = 5 3x + 5y + 6z = 7 2x + 4y + 3z = 8
El valor de la variable puede obtenerse por:
Es posible observar que el denominador está dado por los
determinantes de los coeficientes de matriz, mientras que el numerador está
elaborado a partir del determinante de esa matriz, en la cual 1 de las columnas
fue intercambiada por un vector constante o en otras palabras término
constante.
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